Размер шрифта: A A A
Цвета сайта: Ц Ц Ц
Изображения Вкл. Выкл.
Мы - профессионалы будущего!
Подробнее
Наш Лицей - ЛУЧШИЙ !!!
Красота спасёт мир!
Подробнее
Волонтёры Победы
Подробнее
Наш Лицей - дорога в Будущее!
Наш Лицей - дорога в Будущее!
Подробнее
Наш лицей - ЛУЧШИЙ !!!
Подробнее

"Элементы комбинаторики: перестановки» 2

26.03.2020год. 21 группа МСХП

 

Урок по теме "Элементы комбинаторики: перестановки».

 

Объяснение материала.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

Задачи такого типа называются комбинаторными.

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

 

Комбинаторные задачи делятся на несколько групп.

 

На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n - 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже (n - 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1.

 

  1. Задача:

 

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

abc acb

bac bca

cab cba ответ:6

Это задача на перестановки

 

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как “эн факториал”), т.е.

n!=1*2*3*…*(n-1)*n (записать формулу в тетрадь).

Pn = n(n-1)(n-2)∙…∙3∙2∙1

Pn = n!

Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!  n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.

Один элемент можно упорядочить единственным образом, следовательно, Р1 = 1.

Факториалы растут удивительно быстро.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n! 1 4 6 24 120 720 5040 40 320 362 880 3 628800

 

  1. Задача. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

 

P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

 

  1. Задача.

Квартет

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

 

Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Пример:

Найдем значения следующих выражений:
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6

Образцы решения примеров на тему «Перестановки».

№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Решение: Р= 4! = 1 = 24 (способа)

Ответ: 24.

№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение: Р7 = 7! = 1

Ответ: 5040.

№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

Решение: Р5 = 5! =1 (выражений)

Ответ: 120.

№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:Р3 = 3! = 1(вариантов)

Ответ: 6.

№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение:

1) Р6 = 1720.

2) Р6 – Р5 = 6! – 5! = 1

Ответ: 1) 720; 2) 600.

№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

Решение:

1) Р3 =3! = 1 2) Р3 =3! = 1

Ответ: 1) 6; 2) 6.

№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

Решение:

Р= 4! = 1 = 24

1+3+5+7 = 16 16

Ответ: 384.

№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

Решение:

2.

Ответ: 48.

№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

Решение:

Р75 = 7! 5! = 1

Ответ: 604800.

№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Решение:

Р10 = 10! =1 - расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.

Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных, то таких способов будет равно: Р55 = 5!5! = 1

Ответ: 3628800; 14400.

Задача1 - Вычислить: Чему равно а)Р5  б) Р3

Задача 2: Упростите а) 7! · 8 = 8! б) 12! · 13 ·14 = 14! в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)!

Вычислите :

а) 4! = 1*2*3*4 = 24;
б) 5! = 1*2*3*4*5* = 120;
в) 4! + 5! = 1*2*3*4 + 1*2*3*4*5 = 24+120 = 144;
г) 5*4! =5* 1*2*3*4 = 5! = 120;
д) 4! * 5! = 1*2*3*4 *1*2*3*4*5 = 24 * 120 = 2880;

е) ;

ж)==;

з) ;

и) ; к) .

Самостоятельная работа (выполняется письменно и проверяется преподавателем!!!)

1)  Сколькими способами можно разместить за круглым столом 12 человек?

2)  Вычислите.

а) 5!;

б) 6! · 2!;

в) 9! – 8!;

г) 35!/33!;

д) 16!/(14!3!);

 е) 8!/10!.

3) Вычислите а)  :  

 4) В конкурсе участвуют 8 школьников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

5) Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов?

6) Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг?

Домашнее задание.  Выполнить самостоятельную работу и выслать преподавателю на электронную почту.

 

  • 8 (84579) 52083
    8 (84579) 51939
  • Создание сайтов — Смарт-Лайн

    Яндекс.Метрика